En teoría, en Alemania, la cosa va por Estado y luego por ciudad dentro de cada estado.
Es un Cristo de cuidado.
Pero sí, la norma es que vas a necesitar la etiqueta verde, la menos restrictiva, para entrar en el centro de las ciudades alemanas grandes.
Dicho esto, con los papeles del coche te la dan en el momento en Dekra.
Creo que son como 5€.
Para Francia funciona semejante.
Y otra opción, que es casi la que te recomiendo como turista.
Deja el coche en los múltiples párking P+R (Park&Ride), que tienen conexión directa con el metro o el tranvía, y dentro de la ciudad te mueves a pie o con transporte público.
Recomendable.
Y particularmente en Stuttgart, no te pierdas ni el museo Porsche, ni el museo Mercedes.
Son algo que rompe cualquier estándar que puedas tener respecto a museos modernos de coches.
Además, te los recomiendo en ese orden, porque el de Mercedes es aún más espectacular que el de Porsche
Buen viaje y disfruta el buen tiempo que parece vas a encontrarte.