Efectivamente, lo más probable es que tengas un problema de tierra en casa, pero depende del número de flashes rojo que te dé el MC:

Según donde esté la instalación, poner una pica de tierra (por un profesional) no debería de ser un problema irresoluble.
Por otro lado, sí, ahora Tesla en las nuevas entregas en España da la posibilidad de elegir entre el MC o un cable (de marca Mennekes) tipo2 a Schuko que es mucho menos sensible que el MC con esas cosas. Pero claro es mucho menos versátil que el MC, no pudiéndose conectar a tomas azules/rojas. Es cuestión de elegir según necesidades.
El problema de la instalación también lo tendrás con el wallbox de Tesla. Aparte de revisarla, el setup ideal es tener el MC y adquirir un wallbox portátil además para poder conectarte donde quieras sin problemas. Uno como por ejemplo el WallboxOk de Lugenergy (donde los Socios del Club tienen descuento, por cierto) aunque hay otras opciones en el mercado.
Respecto a la potencia contratada yo te recomiendo que sigas en monofasica pero contratando, si lo necesitas, más potencia (9.2 kW, por ejemplo) e instalando un wallbox o una toma azul de 32A con todo lo que ello requiere a nivel de cableado y caja. Así podrás cargar hasta a 7.4 kW (unos 30 km/h, más que suficiente en carga doméstica, incluso haciendo 300 o más kilómetros todos los días). Pasar a trifasica es muy caro y puedes acabar cargando a menos potencia incluso, en función del consumo del resto de aparatos de la casa.